יחס הכסף: קרוב משפחה של חתך הזהב

בפוסט זה אציג "קרוב משפחה" של יחס הזהב (חתך הזהב) שהוצג בפוסט קודם
ושמו "יחס הכסף". יחס זה כקודמו שהיה ידוע כבר מימי קדם הינו מספר אי רציונלי ושווה בקירוב ל- 2.414.

נהוג לסמנו כ- יחס הכסף

למעשה יחס הזהב ויחס הכסף שיכים ל"משפחה" רחבה יותר,
יחסים אלו קרויים כ- METALLIC MEANS 

יחס הזהב ויחס הכסף מהווים מקרים פרטיים של הנוסחה:

metallic-means

ופתרון עבור הנוסחה הכללית:

metallic-means1

יחס הזהב מתקבל מפתרון חיובי של המשוואה הריבועית:
עבור n=1

golden-ratio11

ואילו יחס הכסף מתקבל מפתרון המשוואה הריבועית:
עבור n=2

silver-ratio3

לפתרון ערכו של יחס הכסף נציב במשוואה הכללית של משוואה ריבועית:

square-eq

או בהתאמה במשוואה הכללית לפתרון יחסים אלו, עבור n=2:

square-eq1

ונקבל בקרוב:

silver-ratio-value

או:

silver-ratio-value2

ניתן לרשום יחס זה גם כיחס אינסופי בצורה הבאה:

יחס הכסף

יישומים גיאומטריים:

מלבני כסף –
מלבנים שבהם יחס צלעותיהם = 2.414 ואו מלבנים אשר מקיימים יחס כגון: 1.414
דפי נייר בתקן בתקן ISO 216 , כמו A4, מקיימים יחס זה.

לדוגמא: ניצור מלבן לפי היחס:

silver-ratio-rectangle

silver-ratio-rectangle1

נכפיל אגפים ונקבל:

silver-ratio-rectangle2

: silver-ratio-rectangle3

ונקבל את יחס הכסף:

silver-ratio-rectangle4

 יישומים אלגבריים:

כאשר נחלק 2 איברים  מסדרת פל  נקבל בקירוב את ערכו של יחס הכסף.

הגדרת הסדרה:

 

Pn = {if   n=0           0

         {if   n=1              

 }         otherwise      2Pn-1 + Pn-2 

 

זוהי סדרת מספרים טבעיים שכל איבר בה הינו תוצאה של סכומם של האיבר הקודם כפול שתיים והאיבר שלפניו.
איברי הסדרה מתחילים בספרות 0 ו-1 :

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378……

האיבר הראשון: 0
האיבר השני: 1
האיבר השלישי: 1X2 +0 = 2
האיבר הרביעי: 2X2 +1=5
האיבר החמישי: 5X2 +2=12
האיבר השישי: 12X2 +5=29
האיבר השביעי: 29X2+ 12=70
האיבר השמיני: 70X2+29=169
האיבר התשיעי: 169X2 +70=408
האיבר העשירי: 408X2+169=985
האיבר האחד-עשר: 985X2+408=2378

נחלק ב-2 מספרים עוקבים ונקבל בקירוב את ערכו של יחס זה:

2378 : 985 = 2.4142

מקור

Coleman, Donald B. "The Silver Ratio: A Vehicle for Generalization" .Mathematics Teacher, v82 n1 p54-59 Jan 1989

Posted in כללי, מתמטיקה | Tagged |

בזאר הספרייה – בואו בהמוניכם!

בזאר הספרייה המרכזית בעיצומו!

בבזאר המתקיים במבואה מול האודיטוריום המרכזי, ספרי עיון, לימוד וכתבי עת בתחומים שונים,

 כגון: חינוך, מתמטיקה, היסטוריה, מדעי הטבע, לשון, ספרות ועוד.

הספרים ניתנים לחלוקה בחינם. הבזאר יסתיים ב-13.01.2013, בואו בהמוניכם!

נשמח לראותכם

צוות הספרייה

 

Posted in כללי, ספרייה - מכללת לוינסקי | Tagged |

ידידיה אדמון (גורוכוב) 1894-1982

כולנו מכירים את השירים ומשה הכה על סלע, שושנת יעקב, כך הולכים השותלים, סלינו על כתפינו, (מופיע בלפחות 29 פרסומים שונים) שניגונם מזכיר ניחוח עממי.

אך לאמיתו של דבר שירים אלו הולחנו כולם ע"י המלחין ידידיה אדמון שכל חוקרי הזמר העברי התייחסו לכתיבתו כדמות מרכזית בתחילת התפתחות הזמר העברי עם השיבה לארץ ישראל.

כשהתחלנו באיסוף פריטי מידע על המלחין ידידיה אדמון לא שיערנו כמה מגוונת היתה אישיותו וכתוצאה ממנה פעילותו.
מהלחנת שירים שהפכו לנכסי צאן ברזל  של הזמר העברי, הלחנת מוסיקה לטקסים ממשלתיים, מחזות וסרטים, כתיבת יצירות אינסטרומנטליות וקוליות, השתתפות פעילה בכנסי המחול בדליה, יו"ר אמי ועד המצאת פטנטים.
על כל אלה תוכלו לגלות באתר…

Posted in כללי, מוזיקה, מלחינים | Tagged , |