יום פאי

יום פאי שמח לכולם !

לא אין הכוונה לעוגות ופשטידות פאי אלא לקבוע מתמטי  - מספר אי רציונלי (שלא ניתן לרשום כיחס בין 2 מספרים שלמים) המיצג את היחס בין היקף המעגל לקוטר שלו. ערכו שווה בערך ל- 3.14 . שמו ניתן לו משום שהאות π היא הראשונה במילה היוונית שמשמעותה היקף  – περίμετρος (פרימטרוס) .(פי במקור).

המתמטיקאים נוהגים לחגוג את יום פאי ב-14 במרץ כקירוב לערכו – 3.14 . יום חגיגה נוסף הינו יום קירוב פאי הנחוג ב- 22 ביולי לפי קרוב ערכו של היחס 22/7 .

  קצת היסטוריה …

כבר בימי קדם, עם המצאת הגלגל, שמו לב לעובדה שיחס זה בין היקף המעגל לקוטרו הינו קבוע  ללא תלות בגודל המעגל. הבבלים שמו לב לתופעה זו כבר לפני כ-6,000 שנה, אחריהם המצרים הקדמונים לפני כ-2,000 שנה העריכו את גודלו ל- 1/7 3 . ארכימדס במאה השלישית אמד את ערכו באמצעות חישוב היקף מצולעים החוסמים מעגל וחסומים בתוכו, בעלי מספר הולך וגדל של צלעות. 

המתמטיקאי הגרמני פרדיננד פון-לינדמן  ב-  1882, הוכיח שפאי הינו מספר טרנסצנדנטלי, כלומר מספר שלא ניתן להגיע איליו בצורת חישוב ממספר אחר. רק עם פיתוח תחום החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, המתמטיקאי אויילר, שהעניק לו את שמו, חישב עד 153 ספרות אחרי הנקודה. עם המצאת המחשב ופיתוח אלגוריתמים הצליחו לחשב עד טריליון מספרים לאחר הנקודה.

דוגמאות לנוסחאות הכוללת את פאי:

 

דוגמאות חישוביות מתחום ההסתברות:

המחט של בופון – הרוזן דה-בופון (המאה ה-18)  שרטט  על נייר  קווים ישרים מקבילים והטיל מחט מספר רב של פעמים על גבי הנייר. הוא חישב את הסיכוי שהמחט תחצה את הקווים המקבילים הנ"ל. במקרים בהם המרחק בין הקווים המקבילים היה שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תפגע בקווים המקבילים הינו.

לפי חוק המספרים הגדולים, ככל שנטיל את המחט מספר רב יותר של פעמים נתקרב לערכו של פאי.

  שיטת "מונטה קרלו" – מציירים ריבוע בעל אורך צלע של שתי יחידות. בתוך הריבוע משרטטים מעגל חסום אשר רדיוסו שווה ליחידה אחת. מטילים חיצים לתוך הריבוע  באופן אקראי מבלי לכוון דווקא למרכז הריבוע. ההסתברות לקלוע לכל נקודה על פני הריבוע שווה. כאשר מונים את מספר הפעמים בהם החיצים פגעו בתוך המעגל ומחלקים מספר זה למספר הפעמים בהם פגעו החיצים בריבוע,  לאחר הטלות מרובות  מקבלים מספר  ששואף ל- π / 4  וזהו המספר ששואף ליחס בין שטח העיגול לריבוע.

ביהדות:

רמזים במקרא ניתן לדוגמא למצוא במסכת סוכה בה מתארים היקף של סוכה עגולה ,  ובספר מלכים א פרק ז, פסוק כ"ג – "וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם מוּצָק עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ וקוה וְקָו שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב" (חישוב מקורב לערך 3 ).

 מקורות:

מידע על פאי ופעילויות –  אתר המרכז מורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי
 
 פאי ממקורות היהדות
 

לוי, רן, פאי. אודיסיאה, אוקטובר 2008,  עמ' 57

אונגורו, שבתאי, מבוא לתולדות המתמטיקה, (אוניברסיטה משודרת] משרד הביטחון, 1989

Posted in הסתברות, כללי, מתמטיקה | Tagged , |

על הרביעייה "הסודית", הביטלס ורוק- אנד-רול ברוסית

בפוסט הקודם שכתבתי, ציטטתי אמירות שונות ביחס למוזיקה ולכוחה של המוזיקה בחיינו. כעת אני רוצה לספר על להקה, שהייתה ונשארה משמעותית עבורי. היא נוסדה לפני יותר מ-25 שנה בסנט-פטרבורג – אז לנינגרד שבברית המועצות לשעבר, ושמה סקרט – Secret . Секрет -  ובעברית – כמובן, הסוד. שיריה של להקת הסקרט הזכירו תחילה את החיפושיות

גם בהרכב – ארבעה חברים, וגם בסגנון. שירים אלה מלווים אותי מגיל העשרה דרך העלייה לארץ ועדיין עכשיו, כעשרים שנה אחרי, יש בהם תמימות ונועזות של הנעורים, שמחת חיים ועצבות, רוח שטות ועליצות, שנינות ומקצת געגועים לימים עברו. אני מרשה לעצמי לחלוק אתכם את החוויה. אנסה להכיר לכם את להקת הסוד – Beat-quartet Secret וכמה משיריה.

זאת תמונת העטיפה של תקליט הלהקה, שהבאתי אתי ארצה (יצא ב-1987)

beat-quartet-secret

משתתפי הלהקה היו: מקסים לאונידוב, ניקולאי פומנקו, אנדריי זבלודובסקי ואלכסיי מורשוב. בהרכב הזה הלהקה פעלה עד שנת 1990, ואחרי שלאונידוב עלה לישראל, המשיכה כשלישיה. לאחר מכן הרכב הלהקה השתנה, אך עדיין המשיכה לפעול, למרות שלא נחלה אותה הצלחה שהייתה לה בשנות ה-80. לפני כחמש שנים התאחדו חברי הלהקה לקונצרט לכבוד יובל ה- 20.

אני רוצה להכיר לכם את אחד השירים המפורסמים ביותר של סקרט – אליסה. שיר זה נכתב ע"י מקסים לאונידוב למילים של דמיטרי רובין, שהיה בלהקה תחילה, אך פרש טרם יום היווסדה הרשמי. לאחרונה באופן מפתיע, מצאתי את השיר הזה בעברית, בביצועה של שרון חזיז. לשיר זה אופי רומנטי, הפזמון מזכיר במקצת את "מישל" של הביטלס.

להאזנה לקליפ ע"פ השיר המקורי הקישו כאן.

דוגמת תוים מתחילת הפזמון -"אליסה":

d790d79cd799d7a1d794-d7aad795d795d799d79d

דוגמת תוים מתחילת הבית – Michelle"":

d79ed799d7a9d79c-d7aad795d795d799d79d

הביצוע של שרון חזיז שונה מהמקור: מן הסתם הטקסט, שתורגם באופן חופשי לעברית, מאבד מהנאיביות של המילים המקוריות. העיבוד בסגנון קצבי יותר, מחוספס יותר, הליווי מתאפיין באוסטינטו ריתמי, במקום ה"באס המהלך"   שבשיר המקורי. לביצוע השיר בעברית הקישו כאן. 

שיר אחר שבחרתי – גם הוא שיר שקט, לירי, מעין בלדה. השיר נקרא "אמא" -Mama.  נכתב ע"י שני חברי הלהקה – לאונידוב ופומנקו. פזמון השיר מזכיר את הקטע מתוך הרפסודיה הבוהמית של להקת הרוק קווין – Bohemian rhapsody / Queen.

דוגמת תוים מתוך הרפסודיה הבוהימית:

 רפסודיה בוהימית - תווים

דוגמת תוים – תחילת פזמון השיר "אמא":

 אמא - תווים

השיר פונה לאמא, ושר אותו בנה שהתבגר. מילות הפזמון בתרגום חופשי מרוסית (ניסיתי כמיטב יכולתי גם לשמור על החרוז) אומרות כך:

 "אמא, הזמן עובר…
אמא, הילד שלך כבר התבגר, ובכל זאת -
אמא… אין לך על מה להצטער…
שימי ראש על כתפי, יהיה טוב, אני אומר."

בדומה לביטלס, שהשתמשו בציטוטים בשיריהם, גם בשיר הזה ישנם ציטוטים מעולם המוזיקה הפופולארית והקלאסית: ואלסים "גלי הדנובה"  ו"חלום הסתיו" שנכתבו כנראה בשנות ה–50 של המאה ה-20. קטעים מיצירות אלה מצוטטים בקטע מעבר בין הבתים, וכן ונושא אהבה מתוך פתיחה-פנטזיה "רומיאו ויוליה" מאת צ'יקובסקי . בסיומו של השיר. קטע זה מנוגן בגיטרה, ומקבל אופי לגמרי שונה.

 שיר אחר בסגנון רוק אנד רול "היא לא מבינה" - נכתב ברוח ה"חיפושיות". גם ע"פ לבוש חברי הלהקה ניתן לראות דמיון מובהק ל"ביטלס".לקליפ ע"פ השיר (משנת 1983) הקישו כאן. ואחרון חביב- סרטון אנימציה לפי השיר "אהבתי בקומה החמישית":

מקורות:

Leonidov, M. (2000?). [Russian] Songs for voice, piano or guitar. Compositor Pub. : Sankt-Peterburg
Mercury, F. (1975). Bohemian rhapsody. Ashgrove, Qld. : Amusica
The Beatles complete (1969). Wise : Northern Songs

Facebook – The Secret

Wikipedia – The Secret

Posted in כללי, מוזיקה, מלחינים | Tagged , |

על מוזיקה, פילוסופיה ומחזיק מפתחות

בבוקר אחד של יום שישי נכנסתי לחנות ספרים… בחרתי ספר וניגשתי לקופה. שם שמתי לב לסלסלה עם כל מיני דברים קטנים ונחמדים, וביניהם מחזיקי מפתחות. לקחתי אחד לידי – הייתה זאת פיסת מתכת אדומה, ועליה נכתב: "החיים היו שגיאה ללא מוזיקה"פרידריך ניטשה.

מיד הסכמתי איתו, וכך החלטתי להקדיש את הפוסט הזה לאמירות על מוזיקה מאת אנשים מפורסמים יותר או פחות – ביניהם פילוסופים, משוררים, סופרים ומוזיקאים.

platon

"מוזיקה היא חוק מוסרי – היא נותנת כנפיים לשכל, נפש ליקום, מעוף לדמיון, קסם לעצבות, חיים לכל"אפלטון.

"המוסיקה הקוסמית מהדהדת בנפשו של האדם, שם היא נהפכת למוזיקה אנושית"בואציוס.

"גם הבעת הרגש החזק ביותר אסור לה לעבור את גבול הטעם הטוב. גם כן המוזיקה, אסור לה לצרום את האוזן. היא צריכה לשמח את הלב, כלומר היא צריכה להישאר תמיד מוזיקה"וולפגנג אמדאוס מוצרט.

"המוזיקה היא התגלות נעלה יותר מאשר כל החוכמה והפילוסופיה"לודוויג ואן בטהובן.

"מדברים כל כך הרבה על המוזיקה, אך אומרים כה מעט. למעשה, אני מאמין כי המילים אינן מספיקות לכך, ולו מצאתי כי הן מספיקות – הייתי, בוודאי, מוותר על חיבור מוזיקה…"פליקס מנדלסון ברתולדי.

"קיימת מוזיקה באנחת השיחים, בזרימת הנחלים, בכל הדברים, אילו אנשים יכלו להקשיב"ג'ורג' ביירון.

"היכן שמילים נכשלות, מוזיקה מדברת"האנס כריסטיאן אנדרסן.

"מוזיקה היא נוסטלגיה לדברים שמעולם לא קרו"איוון טורגנייב.

"מוזיקה מייצגת את אשר אי אפשר להכניס למילים ואת מה שלא יכול להישאר בדממה"ויקטור הוגו.

"מוסיקה היא הבשורה הנעה בזמן מצטלצל ממשמיע לשומע"
"מוסיקה קיומה בעולם מאז קיומו של האדם בה. ואולם רק לעתים נדירות עולה בידי האדם להעלותה אל על ולשחררה לרחף בינינו, מופשטת, בודדת ובת חורין, כפי שנוצרה להיות"
מיכל זמורה.

"אולי אפשר לומר על מוסיקה מה שנאמר על כל חוויה אנושית – ואין הן כה רבות: בהיותה הרמוניה וטרנספורמציה של הטבע והתרבות, המוסיקה היא קונקרטית ואמפירית כאחד, ובאותו זמן מערכת את האזורים הכי עמוקים של הוויתנו"לוצ'יאנו בריו.

"הרגל את עצמך לזמר ניגון. זה ייתן לך חיים חדשים וימלא אותך בשמחה"רבי נחמן מברסלב.

אלה רק אמירות מעטות, ויש אינסוף… חלקם מההיגדים ידברו אליכם, כמו שדיברו אלי, ואולי לא… בכל אופן, אני יכולה להגיד ש… כשהמוזיקה מתנגנת באזניים, החיים נראים ונשמעים קצת יותר שווים. אז … שימו אזניות …

מקורות:

בריו, לוצ'יאנו (1984). שיחות על מוזיקה. תל-אביב : הקיבוץ המאוחד.
וגנר, נפתלי (2004). מוזיקה אז ועכשיו. תל-אביב : מפה.
זמורה, מיכל (1982). משמעויות במוסיקה. תל-אביב : מפעלי תרבות וחינוך.

ויקיציטוט

 www.pitgam.net 

 

Posted in כללי, מוזיקה, מלחינים, סופרים ומשוררים, פילוסופיה | Tagged , , , |